^
До начала 20 века фракталы и автоподобные фигуры совершенно не изучались. Считалось, что они не являются полноправными математическими объектами, и поэтому их изучение отбрасывалось. Но идеи изучения автоподобных фигур были развиты Б. Мандельбротом. Он же в 1975 году ввёл слово «фрактал» (от латинского fractus, от которого позднее произошли английские термины fraction, fractional – дробь, дробный).
Данная тема сегодня очень актуальна, поскольку в современной математике развивается новый раздел – фрактальная геометрия. Фракталы успели занять полноправное место не только в математике, но и в других областях науки, а красивые рисунки, выполненные с помощью компьютерной графики, привлекают к ним даже людей, далёких от науки. Обнаруживается самоподобие и в природе: например, в организме человека каждый нерв подобен другому, альвеолы лёгких подобны друг другу, клетки ткани также подобны одна другой. Автоподобные фигуры применяют и в технике.
^ II. Сколько в чём чего, сколько в ком кого?
1.Три бегемота весят столько же, сколько 6 толстопузых тараканов, а один слон – столько же, сколько 2 бегемота. Сколько толстопузых тараканов уравновешивают слона?
2.Известно, что 4 персика,2 груши и яблоко вместе весят 550 грамм, а персик, 3 груши и 4 яблока вместе весят 450 грамм. Сколько весят персик, груша и яблоко вместе?
3. Малыш съедает 900 грамм варенья за 9 минут. Карлсон делает это вдвое быстрее. За сколько минут они вместе съедят 1 кг 800 г варенья?
4.На поляне ребята пасут жеребят. Если пересчитать ноги ребят и жеребят, то будет 74, а если считать головы, то 22. Сколько на лугу жеребят?
5. У Ивана было три лепёшки, а у Петра – 4. Прохожий присоединился к их трапезе, заплатив 7 копеек. Все ели поровну. Как следует распределить деньги между Петром и Иваном?
6.Пять учеников купили100 тетрадей. Коля и Вася купили 52 тетради, Вася и Юра – 43, Юра и Саша – 34, Саша и Сережа – 30. Сколько тетрадей купил каждый из них?
7.(Костромской турнир математических боёв). Деду Морозу сшили новый мешок для новогодних подарков. Этот мешок был точно рассчитан на 12 тигрят и 15 слонят , или на 10 слонят и 30 мартышек, или 45 мартышек и 18 тигрят . А на сколько одних только тигрят рассчитан новый мешок Деда Мороза?
Решение:
1.Т.к. три бегемота весят столько же, сколько 6 толстопузых тараканов, то один бегемот весит столько же, сколько 2 толстопузых таракана. Один же слон – столько же, сколько 2 бегемота. Значит один слон весит столько же, сколько 4 толстопузых таракана. Ответ: 4 таракана.
2.4п.+2г.+1я.= 550 и 1п.+3г.+4я.=450. Следовательно, 5п.+5г.+5я.=1000 Таким образом, 1п.+ 1г.+ 1я. весят вместе 200 грамм.
3.За 6 минут. Малыш за 1 минуту съедает 100 грамм варенья. А Карлсон – 200 г. Вместе за 1 минуту они съедают 300 грамм варенья.
4.Если бы у всех было по две ноги, то всего ног было бы 222=44 , а ног на 74 – 44 = 30 больше. Это «лишние « ноги жеребят. Значит их 15, а ребят 22 – 15 = 7. Ответ: 15 жеребят и 7 ребят.
5.Все лепёшки стоят 73= 21 копейку. Значит, лепёшка стоит 21 (4+3) =3 копейки. Лепёшки Петра стоили 34 = 12 копеек, из них 7 копеек стоимость съеденных им лепёшек, а остальные 5 копеек он должен получить из уплаченных прохожим денег. (Аналогично, лепёшки Ивана стоили 9 копеек; с прохожего он должен получить 2 копейки.)
6.Запишем условие задачи в виде:
1)Коля + Вася + Юра + Саша + Сережа = 100 тетрадей;
2)Коля + Вася = 52 тетради;
3)Вася + Юра = 43 тетради;
4)Юра + Саша = 34 тетради;
5)Саша + Сережа = 30 тетрадей.
Решение:
Коля + Вася + Юра + Саша купили вместе 86 тетрадей, следовательно, Сережа куши 100 – 86 = 14 тетрадей;
Вася + Юра + Саша + Сережа купили вместе 73 тетради, следовательно, Коля купил 100 – 73 = 27 тетрадей;
3)Саша + Сережа купили вместе 30 тетрадей, следовательно, Саша купил 30 – 14 = 16 тетрадей;
Коля + Вася купили вместе 52 тетради, следовательно, Вася купил 52 – 27 = 25 тетрадей.
5)Юра + Саша купили вместе 34 тетради, следовательно, Юра купил 34 – 16 = 18 тетрадей.
7.Обозначим тигрят – т., слонят - с., мартышек – м. Мешок был один, поэтому 12т+15с =45м+18т
10с+30м=45м+18т
12т+15с=10с+30м
из этого следует что, 15с=6т+45м
10с=15м+18т
30м=12т+5с
Значит , что 30с=12т+90м
30с=45м+54т.
Следовательно,12т+90м=45м+54т; 45м=42т ;
Т.к. в мешок убирается 45 мартышек и 18 тигрят, 45 мартышек заменяют 42 тигрёнка, то 42т+18т = 60 т. Ответ: 60 тигрят.
^ Домашнее задание. Решение задач работа над проектом.
Методические рекомендации. Обратить внимание на актуальность темы «Фракталы»
, создание нового раздела – фрактальной геометрии., их применение в других областях науки.
Занятие № 111.Геометрия в пространстве.
2.Графический способ решения логических задач
Цель: Познакомить учащихся с графическим способом решения логических задач, сравнить его с табличным. ^ I.Геометрия в пространстве. 1.Из шести спичек составьте 4 треугольника со сторонами, равными длине спички.
2.Продавец тремя прямыми разрезами разделил головку сыра на 8 частей. Как он это сделал?
Ответ:Р
ешение задач можно получить только с «выходом» в пространство.
^ II.Графический способ решения логических задачЕсли в задаче фигурирует не два, а больше множеств, то ее решение с помощью таблицы может заметно усложниться, в этом случае приходится пользоваться несколькими таблицами. Рассмотрим графический способ решения задач. Договоримся элементы множеств изображать точками плоскости. Если по условию задачи между двумя элементами этих множеств есть соответствие, то будем соединять такие элементы сплошной линией. Если же между двумя элементами множеств соответствия нет, то будет соединять их пунктирной линией. При наличии взаимно однозначного соответствия каждый элемент одного из множеств будет соединяться сплошной линией только с одним элементом другого множества, а с остальными элементами он будет соединяться пунктирными линиями.
Задача 1. У трех подружек — Ксюши, Насти и Оли — новогодние карнавальные костюмы белого, синего и фиолетового цветов, и шапочки тех же цветов. У Насти цвет костюма и шапочки совпали, у Ксюши ни костюм, ни шапочка не были фиолетового цвета, а Оля была в белой шапочке, но цвет костюма у нее не был белым. Как были одеты девочки?
Множество подружек
Множество костюмов Множество шапочек.
Решение. Будет изображать множество подружек, шапочек и костюмов кругами, а элементы множеств — точками, помещенными в эти круги.
Ключевые условия.
Костюм и шапочка Насти одного цвета.
Костюм и шапочка Ксюши не фиолетового цвета.
Оля в белой шапочке.
Костюм у Оли не белый.
И
з условия (2) ясно, что костюм и шапочка Ксюши не фиолетовые, поэтому соединяем элементы множеств — и — пунктирными линиями. Из условия (3) — Оля в белой шапочке, поэтому соединяем сплошной линией элементы множества — . Из условия (4) — у Оли костюм не белый, поэтому соединяем пунктирной линией элементы множеств — .Видим, что Ксюша не в фиолетовой шапочке и не в белой (в белой — Оля), значит, Ксюша в синей шапочке. Соединяем сплошной линией элементы множеств — . Так как в белой шапочке Оля, в синей шапочке Ксюша, то сплошной линией следует соединить элементы множеств — . Итак, Настя в фиолетовой шапочке. По условию (1) костюм и шапочка у Насти одного цвета, поэтому соединяем сплошной линией элементы множеств — фиолетовый костюм>
Теперь видно, что Оля в синем костюме: она не в белом (условие 4) и не в фиолетовом (в фиолетовом костюме Настя), а Ксюша в белом костюме.
Таким образом, Настя в фиолетовом костюме и шапочке, Ксюша в синей шапочке и белом костюме, а Оля в синем костюме и белой шапочке.
Задача 2. Три друга — Алеша, Сергей и Денис — купили щенков разной породы: щенка ротвеллера, щенка колли и щенка овчарки. Известно, что: щенок Алеши темнее по окрасу, чем ротвеллер, Лесси и Гриф; щенок Сергея старше Грифа, ротвеллера и овчарки; Джек и ротвеллер всегда гуляют вместе. У кого какой породы щенок? Назовите клички щенков.
Решение. Заметим, что соответствие взаимно однозначное.
Выделяем ключевые условия
.
Щенок Алеши не ротвеллер, его зовут не Лесси и не Гриф, так как по условию задачи он темнее по окрасу, чем ротвеллер, Лесси и Гриф.
Щенка Сергея зовут не Гриф, это не ротвеллер и не овчарка.
Ротвеллера зовут не Джек.
В данной задаче следует рассматривать на плоскости три множества: множество мальчиков, множество кличек и множество пород собак. Каждое из множеств
содержит три элемента.
Так как щенок Алеши не ротвеллер, его зовут не Лесси и не Гриф (условие 1), то следует соединить пунктирными линиями элементы множеств — , — , — . Как видно, щенка Алеши зовут не Лесси и не Гриф, следовательно, его зовут Джек. Соединяем соответствующие элементы сплошной линией. Так как щенка Сергея зовут не Гриф, он не ротвеллер и не, овчарка (2), соединяем пунктирными линиями элементы множеств — , — , — .
Множество мальчиков
Множество пород собак Множество кличек собак
Теперь видно, что у Сергея щенок породы колли. Соединяем соответствующие элементы сплошной линией. Кличка щенка Сергея не Гриф (2) и не Джек (мы уже знаем, что Джеком зовут щенка Алеши),значит, сплошной линией соединяем элементы множеств — , то есть щенка Сергея зовут Лесси. Очевидно, что щенка Дениса зовут Гриф. Так как у Алеши не ротвеллер (1) и не колли (колли у Сергея), значит, у Алеши овчарка. Понятно, что в этом случае ротвеллер у Дениса.
Задача 3. Три друга — Алеша, Боря и Володя — учатся в различных школах Санкт-Петербурга (в школах № 577, 141 и 164). Все они живут на различных проспектах (проспект Энтузиастов, проспект Наставников, проспект Косыгина). Причем один из них любит математику, второй — биологию, а третий — химию. Известно, что:
Алеша не живет на проспекте Энтузиастов, а Борис не живет на проспекте Наставников;
мальчик, живущий на проспекте Энтузиастов, не учится в школе № 164;
мальчик, живущий на проспекте Наставников, учится в школе № 577 и любит математику;
Володя учится в школе № 164;
ученик школы № 141 не любит химию.
В какой школе учится каждый из друзей, на каком проспекте он живет и какой предмет любит?
Решение. Здесь следует рассмотреть четыре множества: множество друзей, множество проспектов, множество школ и множество школьных предметов. Каждое из множеств содержит три элемента.
Из условия (1): Алеша не живет на проспекте Энтузиастов, а Борис не живет на проспекте Наставников. Соединяем пунктирными линиями элементы множеств — , — . Из условия (2) ясно, что мальчик, живущий на проспекте Энтузиастов, не учится в школе № 164, поэтому соединяет пунктирной линией элементы множеств — . Из условия (3) ясно, что мальчик, живущий на проспекте Наставников, учится в школе № 577 и любит математику, поэтому соединяем сплошными линиями элементы множеств: — , — , — . Из условия (4) — Володя учится в школе № 164. Соединяем сплошной линией элементы множеств —. Из условия (5) — ученик школы № 141 не любит химию. Соединяем пунктирной линией элементы множеств — .
Теперь видно, что ученик школы № 141 любит биологию (он не любит химию по условию и не любит математику — этот предмет любит ученик школы № 577). Соединяем сплошной линией элементы множеств — . Очевидно, что ученик школы № 164 любит химию. Соединяем сплошной линией соответствующие элементы. Замечаем, что ученик школы № 164 живет на проспекте Косыгина (по условию 2 он не живет на проспекте Энтузиастов и не живет на проспекте Наставников, так как там живет ученик школы № 577 — условие 3). Соединяем сплошной линией элементы множеств — . Очевидно, что ученик школы № 141 живет на проспекте Энтузиастов, и, значит, соответствующие элементы можно соединить сплошной линией.
Множество друзей Множество проспектов
Множество школ Множество школьных предметов
Теперь видно, что ученика школы № 164 зовут Володя, он живет на проспекте Косыгина и любит химию. Соединяем сплошной линией элемжеств — , — . Так как Алеша не живет на проспекте Энтузиастов и не живет на проспекте Косыгина, то, значит, он живет на проспекте Наставников и, значит, учится в школе № 577 и любит математику. Становится очевидным, что Боря живет на проспекте Энтузиастов, учится в школе № 141 и любит биологию.
^ Дополнительные задачи1. Антонов, Малеев и Марков живут в разных городах и имеют разные профессии. Один живет в Москве, другой — в Минске, третий — в Астрахани. Один работает механиком, другой — агрономом, третий — артистом. Определите местожительство каждого и его профессию, если:
Марков бывает в Москве лишь во время отпуска, хотя все его родственники живут в Москве;
жена артиста приходится Маркову младшей сестрой;
у двух из этих людей название профессии и города, в котором он живет, начинается с той же буквы, что и его фамилия.
2.Однажды в Артеке за круглым столом оказалось пятеро ребят родом из Москвы, Санкт-Петербурга, Новгорода, Перми и Томска: Алёша, Юра, Толя, Коля и Витя. Москвич сидел между томичем и Витей, санкт-петербуржец — между Юрой и Толей, а
напротив него сидели пермяк и Алеша. Коля никогда не был в Санкт-Петербурге, а Юра не бывал в Москве и Томске, а томич с Толей регулярно переписываются. Определите, в каком городе живет каждый из ребят.
3 .
(Визам А.Д. Игра и логика).
Ой, какие красивые разноцветные шарики! А какие коробочки! Дедушка, ну, пожалуйста, подари их мне! — воскликнула Евочка, едва переступив порог дедушкиной комнаты.
Посмотрим, заслуживаешь ли ты такого подарка, — ответил дедушка и попросил Евочку на некоторое время выйти из комнаты. Но не прошло и минуты,, как девочка услышала, что ее зовут. — Перед тобой пять коробочек: одна белая, одна черная, одна красная, одна синяя и одна зеленая, — сказал дедушка. — Шарики тех же цветов, что и коробочки.
— Совсем не трудно, — утешил ее дедушка. — К тому же, я помогу тебе — вот послушай:
ни один шарик не лежит в коробочке того же цвета, что и он сам;
в красной коробочке нет синих шаров;
в коробочке нейтрального цвета (черной или белой) лежат один красный и один зеленый шарики;
в черной коробочке лежат шарики холодных цветов (зеленый или синий);
в одной из коробочек лежат один белый и один синий шарики;
(6) в синей коробочке один шарик черный.
Евочка решила задачу. А вы?
4.Коля, Боря, Володя и Юра заняли первые четыре места в соревновании, причем никакие два мальчика не делили между собой какие-либо места. На вопрос, кто какое место занял, Коля ответил: «Ни первое, ни четвертое». Боря сказал: «Второе», а Володя заметил, что он был не последним. Какое место занял каждый из мальчиков?
5.Библиотека, о которой пойдет речь, не столь уж велика: просто Саше вздумалось навести порядок в своих книгах. Так и есть! Пяти книг не хватает: томика Марка Твена, энциклопедии профессора Зарецкого, сборника сказок Андерсена, рассказов Бианки
и сборника стихов Пушкина. Саша смутно помнил, что кому-то давал эти книги. Но кому? После многократных попыток Саше удалось вспомнить следующее:
к нему заходили только Андрей, Федя, Ира, Катя и Валя; никому другому он книг не давал;
он всегда строго придерживался правила давать друзьям только по одной книге, причем новую книгу давал только после того, как ему возвращали предыдущую;
Федя как-то раз брал у него энциклопедию профессора Зарецкого, но давно возвратил, так что взять эту книгу вторично Федя не мог;
у Андрея две литературные привязанности: стихи Пушкина и рассказы Марка Твена (книги других авторов Андрей взять не мог);
Катя отдает предпочтение рассказам о животных;
Ира читает только сказки и книги о компьютерах (поэтому она могла взять энциклопедию профессора Зарецкого);
Валя неизменный почитатель поэзии (остальных книг для нее просто не существует).
Какую книгу взял каждый из детей?
Ответы: 1. Механик — Минск — Марков; агроном — Астрахань — Антонов; артист — Москва — Малеев. 2. Толя — в Москве, Юра — в Новгороде, Алеша — в Томске, Коля — в Перми, Витя — в Санкт-Петербурге. 3. В белой коробочке — зеленый и красный шарики; в черной — синий и зеленый; в синей — черный и красный; в зеленой — белый и синий; в красной — черный и белый. 4. Володя — первое место, Боря — второе, Коля — третье, Юра — четвертое. 5.Сборник стихов Пушкина у Вали, томик Марка Твена у Андрея, энциклопедия профессора Зарецкого у Иры, сборник рассказов Бианки у Кати, сборник сказок Андерсена у Феди.
